Dạng toán định m để phương trình có nghiệm thường có trong đề thi toán của cấp hai, cấp ba, đại học… Bạn sẽ sử dụng phương pháp tính hàm số đơn điệu để tìm giá trị miền của hàm số. Sau đó, suy ra giá trị tham số m cần tìm. Để hiểu rõ hơn về điều kiện cho phương trình có nghiệm khi tìm m, bạn tham khảo bài viết này.
Table of Contents
Phương trình có nghiệm được hiểu như thế nào?
Những người đã từng học qua cấp THCS, THPT hay đại học đều sẽ biết về bài toán liên quan tới nghiệm, phương trình. Vậy phương trình có nghiệm được hiểu như thế nào?
Định nghĩa về dạng toán phương trình có nghiệm
Phương trình trong toán học chính là mệnh đề có chứa biến ở dạng:
Trong toán học, phương trình là một mệnh đề chứa biến có dạng:
- f(x1,x2,…)=g(x1,x2,…) (1)
- h(x1,x2,…)=0 (3)
- h(x1,x2,…)=f(x1,x2,…)–g(x1,x2,…) (2)
- ax2+bx+c=0 (4)
X1,x2,… trong đó được gọi là những biến số thuộc phương trình. Từng bên phương trình chính là vế phương trình. Ví dụ trong phương trình (1) thì vế phải là g(x1,x2,…) còn vế trái f(x1,x2,…).
Xét tới phương trình (4), người ta quy ước các biến dạng x,y và các hệ số dạng a,b,c. Nghiệm của phương trình được hiểu là bộ x1,x2,… Khi ta thay những số đó vào phương trình sẽ có mệnh đề đúng. Hiểu đơn giản sẽ làm chúng bằng nhau.
Công thức tổng quát
Ta xét phương trình f(x)=0, a được xem là nghiệm phương trình trong trường hợp f(a)=0 và x=a. Định nghĩa của điều này tương tự những phương trình khác ví dụ như: f(x, y ,z,… =0, a ∈ S suy ra
- x=a
- z=c
- y=b
- f(a,b,c)=0
Khi giải phương trình ta sẽ tìm ra tập nghiệm phương trình đó. Tập nghiệm phương trình chính là toàn bộ nghiệm phương trình. Chúng có ký hiệu đó là S={x,y,z,…}.
Điều kiện xác định m để phương trình có nghiệm
Muốn định m để phương trình có nghiệm ta cần dựa theo điều kiện cụ thể mà toán học quy định. Bạn cần ghi nhớ kỹ điều này để tránh nhầm lẫn khi giải phương trình có nghiệm:
Điều kiện xuất hiện nghiệm trong hệ phương trình
Ta có hệ phương trình như sau
- ax+by=c(d)(a^2+b^2≠0)
- a′x+b′y=c′(d′)(a^′2+b^′2≠0)
Để hệ phương trình vô số nghiệm thì (d) trùng (d’) ⇔bb’= aa’= cc’ (b′, a′, c′ ≠ 0).
Để hệ phương trình một nghiệm thì (d) cắt (d’) ⇔bb’ aa’(b’,a′0).
Để hệ phương trình vô nghiệm thì (d) (d’) ⇔ aa’=bb’ cc’(b’,c’,a’0).
Điều kiện có nghiệm trong phương trình bậc 2
Dựa trên hệ thức Vi-ét, khi ax2+bx+c=0 (a≠0) là phương trình bậc hai có nghiệm x2, x1 thì P = x1x2 = ca, S= x1 + x2 =-ba
Chính vì vậy, điều kiện để tìm ra một phương trình bậc hai đó là:
- Có hai nghiệm âm: P>0; Δ≥0; S<0.
- Có hai nghiệm dương: P>0; Δ≥0; S>0.
- Có hai nghiệm trái dấu: P<0; Δ≥0.
Điều kiện có nghiệm trong phương trình lượng giác
Phương trình cosx = m sẽ có nghiệm trong trường hợp |m| ≤ -1. Lúc này, ta lựa một góc α mà cosα=m. Nghiệm của phương trình là đồng thời x = -α + k2π và x = α + k2π.
Phương trình sinx=m khi có nghiệm thì |m| ≤ -1. Ta lựa một góc α mà sinα = m, nghiệm phương trình lúc này đồng thời là x = π – α+ k2π và x = α + k2π.
Phương trình cscx=m. Bạn lựa góc α mà cscα=m. Phương trình khí đó với mọi m luôn có nghiệm. Bên cạnh đó là phương trình tanx=m. Lựa góc α mà tanx=m. Phương trình khí đó với mọi m luôn có nghiệm.
Một số dạng toán điều kiện thường gặp trong phương trình có nghiệm
Khi giải toán định m để phương trình có nghiệm có nhiều bài toán khác nhau. Tuy nhiên, bạn sẽ thường gặp nhất đối với ba trường hợp sau:
Dạng 1: Điều kiện nghiệm phương trình quy về dạng phương trình bậc hai
Giả dụ, tìm giá trị m để phương trình x^4 + mx^2 + 2m – 4 = 0 (1) có nghiệm. Với đề bài này, bạn giải như sau:
Đặt x^2 = y ≥ 0. Để phương trình (2) xuất hiện nghiệm, điều kiện đó là phương trình (3) y^2 + my + 2m – 4=0 có tối thiểu 1 nghiệm không âm. Lúc này ta được Δ=m^2 – 4(2m – 4) = (m – 4)^2 ≥ 0 mọi m. Phương trình khi đó hai nghiệm x1,x2 đều thỏa mãn S = -m; P = 2m – 4.
Phương trình (1) nếu muốn cả hai nghiệm âm sẽ có điều kiện:
{S<0; P>0 ⇔ {-m<0; 2m – 4>0 ⇔{m>0; m>2 ⇔ m>2
Do đó, để phương trình (3) tối thiểu một nghiệm không âm sẽ có điều kiện m ≤ 2. Dẫn tới phương trình (2) khi m ≤ 2 sẽ có nghiệm.
Dạng 2: Điều kiện phương trình có nghiệm
Giả dụ có phương trình (1) x^2 – 2(m+3)x + 4m – 1=0. Hãy tìm giá trị m sao cho phương trình xuất hiện hai nghiệm dương. Bạn giải như sau:
Ta có phương trình (2) hai nghiệm dương
{P>0; Δ≥0; S>0 ⇔ {4m – 1 > 0; (m+3)^2 – (4m – 1) ≥ 0; 2(m + 3) > 0 ⇔ {m > 14; (m+1)^2 + 9 > 0 ∀m; m > -3 ⇔ {m > 14
Dạng 3: Điều kiện của hệ phương trình xuất hiện nghiệm thỏa mãn đề bài yêu cầu
Giả dụ, tìm m nguyên sao cho hệ phương trình xuất hiện nghiệm nguyên duy nhất.
- 2x + my = 2m – 1
- 2y + mx =m + 1
Dựa theo phương trình 2 ta có y = m + 1 – mx2. Bạn thay lên phương trình 1 ta có 2x+mm + 1 – mx2= 2m – 1 ⇔ 4x+m^2 – m^2x = 4m – 2 ⇔ x (m^2 – 4) = m^2 – 3m – 2 ⇔ x(m – 2)(m + 2) = (m – 2)(m – 1).
Khi m = 2, x = 0 dẫn tới phương trình vô số nghiệm.
Khi m = – 2, x = 12 dẫn tới phương trình vô nghiệm.
Kết luận
Trên đây là một vài cách xác định m để phương trình có nghiệm bạn có thể tham khảo. Ứng vào từng ví dụ cụ thể sẽ có những cách tính khác nhau. Do đó, bạn đọc cần nắm rõ kiến thức mình học để tính toán cho chuẩn xác nhất.
